1.2 Propietats

Considerem una equació de recurrència de la forma

$$x_{i+1}=f(x_i).$$

Ens interessarà especialment l'existència dels anomenats punts fixos. Un punt fix, com el seu nom indica, és un valor tal que si un terme de la sèrie el té, tots els termes posteriors també el tindran. Matemàticament, expressem això com

$$x^*=f(x^*).$$

Un punt fix pot ser estable o inestable. Està clar, per la seva definició, quin és el comportament de la sèrie quan un terme té exactament aquest valor. Ara bé, què passa si un terme de la sèrie té un valor molt proper al del punt fix? Els propers termes tendiran a acostar-se al punt fix o s'hi allunyaran?

En el primer cas parlarem d'un punt fix estable i probablement la sèrie anirà a parar a aquest valor tard o d'hora. En el segon cas tindrem un punt fix inestable i molt difícilment la sèrie podrà tenir aquest valor, a no ser que el seu valor inicial sigui exactament aquest.

Podem discutir el caràcter d'un punt fix $x^*$ estudiant la següent quantitat

$$\lambda = \frac{df(x)}{dx}\vert _{x*}.$$

Quan $\lambda>1$ el punt fix és inestable. En canvi, per $\lambda<1$ el punt fix tindrà caràcter estable.

Un altre concepte interessant és el d'òrbita o cicle. Pot passar que un cert nombre de valors es vagi repetint contínuament en una sèrie. Podem expressar-ho matemàticament dient que existeix un terme de la sèrie a partir del qual sempre es complirà que

$$x_{i+n} = x_i$$

on $n$ és el nombre de termes de l'òrbita. Per exemple, a la següent sèrie trobem una òrbita de tres termes.

$$1,2,3,4,5,6,7,5,6,7,5,6,7,5,6,7,\ldots$$

De fet, es pot pensar que un punt fix és una òrbita d'un sol terme. Fixem-nos que si obtenim la sèrie a partir d'una equació de recurrència, n'hi ha prou amb que es repeteixi un terme de la sèrie per a que els seus valors formin, a partir d'aquell terme, una òrbita.

Les òrbites poden ser, com els punts fixos, estables o inestables. El criteri torna a ser veure cap a on tendeix la sèrie quan un terme té un valor molt proper a un dels valors que formen l'òrbita.

Finalment, ens podem trobar amb un atractor. En aquest cas, els valors de la sèrie no formen una òrbita, ja que mai es repeteix cap valor, però tenen tendència a cobrir un interval finit. Anomenem atractor a aquest interval de valors. Un atractor es pot considerar com una òrbita d'infinits termes.

Els atractors són un indici del que s'anomena caos determinista: un petit canvi en el terme inicial de la sèrie dóna lloc a evolucions completament diferents, que tan sols tenen en comú la tendència a cobrir el mateix atractor.

Una equació de recurrència pot tenir més d'un punt fix. El valor i l'estabilitat dels punts fixos són un tret característic de cada equació de recurrència. Imaginem ara que tenim una equació que depèn d'un paràmetre $a$.

$$x_{i+1}=f_a(x_i).$$

En certa manera, aquesta expressió representa una ``família'' d'equacions de recurrència, cadascuna caracteritzada per un valor del paràmetre $a$. Per a valors diferents de $a$ podem tenir un nombre diferent de punts fixos. Diem que es produeix una bifurcació en un valor donat de $a$ quan una variació molt petita d'aquest valor fa que canvii el nombre de punts fixos.

També es diu que s'ha produït una bifurcació quan varia el nombre d'òrbites o, fins i tot, quan el nombre de termes d'una òrbita canvia.

Pot passar que, per a un determinat valor del paràmetre $a$, una òrbita es converteixi en un atractor. En aquest cas es diu que el sistema s'ha tornat caòtic.

En els propers apartats tindrem l'oportunitat d'anar descobrint aquests comportaments a les equacions de recurrència que utilitzarem.