1 Concepte de percolació

Considerem un tauler de caselles quadrades que poden estar en dos estats diferents. Anomenem a un estat "ocupat" i a l'altre "buid" i comencem amb un tauler a on totes les caselles estiguin ocupades.

Cada casella del tauler tindrà 4 veïnes: la de dalt, la de sota, la de l'esquerra i la de la dreta.

Pensem ara en un camí que vagi des de la part superior del tauler fins a la part inferior. Aquest camí ha de creuar el tauler passant d'una veïna a l'altra i, per tant, podrà tenir segments verticals i horitzontals però en cap cas diagonals (veure Fig. 1).

**Figura 1:** Exemple de camins en un tauler
$\begin{figure}\leavevmode \begin{center} \leavevmode\epsfxsize =6cm \epsfbox{camins.eps} \end{center} \protect\end{figure}$

És trivial veure que tots els camins que compleixen la condició anterior passen tan sols per caselles ocupades. De fet, diem que hi ha percolació quan hi ha almenys un camí, que travessa el tauler passant d'una casella veïna a una altra, format tan sols per caselles ocupades.

Ara, escollim una casella a l'atzar i la ``buidem''. Segurament hi continuarà havent percolació. Buidem-ne una altra i anem repetint aquest procés en successives vegades (veure Fig. 2).

**Figura 2:** A mida que anem buidant caselles es fa més difícil trobar un camí que travessi el tauler
$\begin{figure}\leavevmode \begin{center} \leavevmode\epsfxsize =2cm \epsfbox{p... ...{percola5.eps}\epsfxsize =2cm \epsfbox{percola6.eps} \end{center} \end{figure}$

Arribarà un moment en que ja no serà possible trobar un camí de les característiques esmentades abans. Llavors, hi deixarà d'haver percolació.

El problema de la percolació està relacionat amb el problema de la mida de l'illa més gran. Entenem que dues caselles formen part de la mateixa illa si es possible establir un camí entre les dues caselles que vagi passant per caselles veïnes i, a més, totes les caselles per on passa el camí estan ocupades (veure Fig. 3)

**Figura 3:** Les illes estan pintades amb colors diferents
$\begin{figure}\leavevmode \begin{center} \leavevmode\epsfxsize =6cm \epsfbox{illa.eps} \end{center} \protect\end{figure}$

Quan totes les caselles estan ocupades, l'illa més gran és, senzillament, tot el tauler. Si buidem unes poques caselles, l'illa més gran ja no estarà formada per totes les caselles del tauler, però sí per totes les caselles ocupades. Ara bé, si continuem amb el procés de buidar caselles arribarà un moment en que l'illa més gran ja no estarà formada per la totalitat de les caselles ocupades. A partir d'aquí, l'illa més gran estarà formada per cada cop menys caselles fins que al final del procés tindrà una sola casella.

Tal com ho hem presentat, la percolació és un fenomen geomètric. Tanmateix, hi ha molts fenòmens a la vida real que es poden modelar mitjançant la percolació. Per posar uns pocs exemples, mencionem la ruptura d'un dielèctric, l'extinció natural d'un incendi, el contagi de malalties i la permeabilitat d'una roca. De fet, aquest darrer cas va ser el que va esperonar l'estudi de la percolació, pensant sobre tot en les aplicacions a l'extracció de petroli.

Curiositat: La preparació de cafè també és un procés de percolació. Si ho dubteu, proveu de fer-vos el cafè amb una quantitat de cafè clarament inferior a la que hi cap a la cafetera