Amunt: La sala d'estudis

Difusió de contaminants al sòl

Processos

Estudiarem com passa una substància tòxica des de l'atmosfera a la vegetació a través del sòl.

Cal modelitzar els següents processos

Figura 1: Processos al sòl

Tot i que el procediment és semblant per a qualsevol material, ho aplicarem al cas del $Cs^{137}$, un dels contaminants emesos durant l'accident de Chernobyl.

Dinàmica del sistema

Figura 2: Modelització del sòl

Les línies discontínues representen fonts o relacions de proporcionalitat. Les línies contínues són fluxos proporcionals a la quantitat de sortida. A més hi ha una variació per la semidesintegració del material radioactiu.

$$\begin{eqnarray*} \frac{dQ_1}{dt} &=& (- \lambda - k_{12} - k_{14} ) Q_1 + k_{41... ...Q_5 &=& Y_m B_v \left( \frac{Q_1}{P_1} + \frac{Q_2}{P_2} \right) \end{eqnarray*}$$

Unitats

L'activitat radioactiva es mesura en Bequerels (Bq). Un $Bq$ és una desintegració per segon.

La concentració de material radioactiu a l'aire es mesura en $Bq/m^3$ (El nombre de desintegracions radioactives que tenen lloc cada segon en un metre cubic d'aire).

Figura 3: Definició de Bequerel

La concentració de material radioactiu al sòl es pot expressar en $Bq/m^2$ (ens referim a tota l'activitat que té lloc a una superfície $1 \: m^2$ en una capa de sòl determinada).

Figura 4: Definició de concentració al sòl

La concentració de material radioactiu a la vegetació s'expressa en $Bq/kg$.

Es pot passar d'una unitat a l'altra utilitzant la densitat de vegetació ($kg/m^2$) com a factor de conversió.

La precipitació es mesura en $mm/d$, on un $mm$ és un $l/m^2$.

Significat dels coeficients

Entrades del model

Concentració a l'aire	$\chi$	$Bq \: m^{-3}$
Precipitació	$I$	$mm \: d^{-1}$
Densitat de vegetació (humida)	$Y_m$	$Kg \: m^{-2}$

Càlcul de la deposició $\Phi$ ( $Bq \: m^{-2} d^{-1}$)

$\Phi = \chi ( V_g + h I \alpha )$

Coeficients

Deposició (sòl)	$I_1$	$0.75 \: \Phi$
Deposició (plantes)	$I_4$	$0.25 \: \Phi$
Semidesintegració	$\lambda$	$6.33 \cdot 10^{-5} d^{-1}$
Infiltració	$k_{12}$	$6.65 \cdot 10^{-4} \: d^{-1}$
Infiltració	$k_{23}$	$1.73 \cdot 10^{-4} \: d^{-1}$
Resuspensió	$k_{14}$	$8.64 \cdot 10^{-5} \: d^{-1}$
Rentat	$k_{41}$	$3.0 \cdot 10^{-2} + I \cdot 3.4 \cdot 10^{-2} \: d^{-1}$
Creixement	$k_4$	$Y_m' \cdot Y_m$
Absorció	$B_v$	$2.0 \cdot 10^{-2}$

Paràmetres fixos

Alçada de barreja	$h$	$1000 \: m$
Constant de rentat	$\alpha$	$0.6 \: mm^{-1}$
Velocitat de deposició	$V_g$	$210 \: m d^{-1}$
Densitat sòl (capa 1)	$P_1$	$13 \: Kg \: m^{-2}$
Densitat sòl (capa 2)	$P_2$	$52 \: Kg \: m^{-2}$

Mètode d'Euler

El mètode d'euler serveix per resoldre equacions diferencials del tipus

$$\frac{dx}{dt} = f(x,t)$$

No es pot fer servir quan $f(x_0,t)=0$.

L'algoritme d'aquest mètode és:

1. Partim d'uns valors inicials $x_0$ i $t_0$.
2. Dividim el temps en pasos discrets d'una durada $\Delta t$
   
   $$t_i = t_{i-1} + \Delta t$$
   
   

3. Per a cada pas, trobem el valor de la variable dependent
   
   $$x_i = x_{i-1} + f(x_{i-1},t_{i-1}+\frac{\Delta t}{2}) \: \Delta t$$
   
   

4. Un cop ja tenim $x_i$ podem obtenir un valor millor iterant (això és opcional!)
   
   $$x_i = x_{i-1} + f(\frac{x_i + x_{i-1}}{2},t_{i-1}+\frac{\Delta t}{2}) \: \Delta t$$
   
   

5. Es torna a repetir el procés amb el següent pas.

Per aplicar aquest esquema a un sistema d'equacions diferencials, nomes cal dibuixar una fletxeta de vector a sobre de cada $x$.

Resultats del model

Figura 5: Resultats del model

Amunt: La sala d'estudis