Amunt: La sala d'estudis

Relació entre espècies (models continus)

Models continus

Els models continus són:

Competència de Lotka-Volterra

$$\frac{dx}{dt} = r_x ( 1 - x - ay ) x$$

$$\frac{dy}{dt} = r_y ( 1 - y - bx ) y$$

Presa-depredador de Volterra

$$\frac{dx}{dt} = r_x ( 1 - x ) x - a x y$$

$$\frac{dy}{dt} = a b x y - d y$$

Recordem que la versió discreta d'aquests models era

$$x_{i+1} = R_x ( 1 - x_i - \alpha y_i ) x_i$$

$$y_{i+1} = R_y ( 1 - y_i - \beta x_i ) y_i$$

$$x_{i+1} = R_x ( 1 - x_i ) x_i - \alpha x_i y_i$$

$$y_{i+1}= \alpha \beta x_i y_i + (1 - \delta) y_i$$

Equivalència amb els models discrets

No són ben bé equivalents als discrets. No obstant, les següents relacions poden, en certs casos, fer que ho siguin

1. $r$ és la taxa de creixement, que està relacionada amb el factor de creixement
   
   $$r_i = \frac{\ln(R_i)}{\Delta t}$$
   
   

2. La normalització $K$ és la capacitat del sistema, relacionada amb $Q$ per
   
   $$Q_i = K_i \left( 1 + \frac{1}{r_i \Delta t} \right) \simeq K_i \left( 1 + \frac{1}{R_i - 1} \right)$$
   
   
   En el cas presa-depredador, els depredadors utilitzen la mateixa normalització que les preses.
3. Paràmetres
   1. Competència
      
      $$a = \frac{Q_x}{K_x} \frac{K_y}{Q_y} \alpha$$
      
      
      
      
      $$b = \frac{Q_y}{K_y} \frac{K_x}{Q_x} \beta$$
      
      

   2. Presa-Depredador
      
      $$a = \frac{K_x}{Q_x}\frac{1}{\Delta t} \alpha$$
      
      
      
      
      $$b = \beta$$
      
      
      
      
      $$d = \frac{\delta}{\Delta t}$$
      
      

Equacions diferencials

Dividim el temps en intervals. Les equacions de recurrència ens permeten calcular la població en els instants que separen els intervals.

$$\frac{dx}{dt} = f(\mu,x)$$

Els següents conceptes són importants:

1. Punts fixos: són els punts en els quals el sistema pot continuar indefinidament.
   
   $$f(\mu,x^*) = 0$$
   
   

2. Estabilitat: Els punts fixos poden ser estables ($\vert\lambda\vert<1$) o inestables ($\vert\lambda\vert>1$).
   
   $$\lambda = \frac{\partial f(\mu,x^*)}{\partial x}$$
   
   

3. Bifurcacions: Un petit canvi en el paràmetre $\mu$ pot canviar completament els punts fixos del sistema.
4. Òrbites: Encara que no hi hagi un punt fix el sistema pot anar recorrent una sèrie de valors una i altra vegada.
5. Atractor: Aparició del caos. No existeix òrbita però la trajectoria del sistema està restringida a una regió.

Estabilitat en sistemes

Tot el que s'ha dit, també és aplicable a sistemes d'equacions diferencials

$$\frac{dx_i}{dt} = f_i(\mu,\vec{x})$$

Els punts fixos es troben mitjançant un sistema d'equacions algebraiques

$$f_i(\mu,\vec{x^*})$$

Per discutir l'estabilitat del sistema ens cal trobar els valors propis $\lambda_i$ de la matriu jacobiana, avaluada en el punt fix

$$J_{ij} = \frac{\partial f_i(\mu,\vec{x^*})}{\partial x_j}$$

Cal que tots els $\lambda_i$ siguin negatius per a que el punt fix sigui estable. Els valors propis es troben a partir de l'equació característica

$$\vert J - \lambda I\vert = 0$$

Resultats

Figura 1: Evolució en funció del temps

Amunt: La sala d'estudis