4.3 La solució gaussiana

Ni la solució euleriana ni la lagrangiana aporten un resultat pràctic aplicable al problema de la distribució de contaminants a l'atmosfera, pel que habitualment és precís considerar algunes aproximacions per a obtenir una solució pràctica i vàlida, bé sigui una solució analítica o bé una solució numèrica. La solució analítica més àmpliament utilitzada i que ha tingut un major èxit és l'equació gaussiana. Aquesta equació s'obté a partir de la solució euleriana o de la solució lagrangiana, considerant algunes aproximacions.

La solució gaussiana és

$$<c(x,y,z,t)>= \frac{S}{(2 \pi)^{3/2} \sigma_x(t) \sigma_y(t)... ...c{y^2} {2 \sigma_y^2(t)} - \frac{z^2}{2 \sigma_z^2(t)} \right]$$ (2)

Com es pot observar, el nom de la solució (gaussiana) es degut a la forma de la funció resultant de la integració. Les aproximacions que es consideren per a obtenir aquesta solució imposen que aquesta equació només serà vàlida quan:

• Les reaccions químiques siguin lentes comparades amb el transport turbulent.

• Les escales de longitud i temps característiques dels canvis de concentració siguin grans comparades amb les corresponents escales de transport turbulent.

Figura 10: Valors empírics de la dispersió

Taula 5: Descripció qualitativa de l'estratificació

A	molt inestable
B	moderadament inestable
C	lleugerament inestable
D	indiferent
E	lleugerament estable
F	moderadament estable
G	molt estable

Aquestes condicions no es compleixen en zones molt properes a focus localitzats. El model tan sols és vàlid, per tant, en situacions amb reaccions químiques relativament lentes (contaminants inerts) i focus dispersos (zones urbanes).

Segons l'aproximació gaussiana, s'aplica la hipòtesi de flux atmosfèric homogeni, pel que la velocitat del vent $u$ és funció exclusivament del temps.

Però, fins i tot, $u(t)$ és una funció aleatòria en el temps i és necessari conèixer alguna propietat d'aquesta aleatoritat que permeti integrar-la en el model.

La solució general gaussiana pot simplificar-se en ocasions per a adaptar-se a determinats entorns. Així, considerem un entorn homogeni i estacionari en el que el vent té la direcció de l'eix $X$ i es manté constant en el temps i l'espai. Llavors es pot menysprear l'efecte de la dispersió, representat per la variància $\sigma_x$, en el transport en aquesta direcció, ja que l'efecte del vent és molt major.

En aquest cas, els paràmetres $\sigma_y$ i $\sigma_z$ es mantenen constants durant el transcurs del temps a un mateix lloc i depenen tan sols del temps $x/u$ que triga la contaminació en arribar a aquest lloc. En aquestes condicions, $\sigma_y$ i $\sigma_z$ es poden expressar en funció de només la posició $x$ . L'equació gaussiana que defineix la dispersió d'un contaminant des d'un focus emissor puntual continu es simplifica

$$<c(x,y,z)>=\frac{S}{2 \pi \sigma_y(x) \sigma_z(x)} \exp \lef... ...ac{y^2}{2 \sigma_y^2(x)} - \frac{z^2}{2 \sigma_z^2(x)} \right]$$ (3)

essent $S$ el cabal màssic d'emissió del contaminant.

Si el que tenim és un focus emissor lineal (per exemple, una carretera) en la direcció $y$ perpendicular a la direcció del vent, donat que l'emissió $S$ és homogènia al llarg de tota la línia de la carretera, l'expressió estacionària es redueix a

$$<c(x,z)>=\frac{S}{(2 \pi)^{1/2} \sigma_z(x)} \exp \left[ - \frac{z^2}{2 \sigma_z^2(x)} \right]$$ (4)

Aquestes expressions només poden utilitzar-se de forma precisa en les condicions indicades, encara que habitualment representen una aproximació acceptable. En qualsevol cas, ara ja pots fer l'activitat 4.

Fins ara no hem considerat cap efecte degut a la no homogeneïtat del medi. Potser la inhomogeneïtat més marcada, alhora que la més freqüent, és la deguda a que l'atmosfera està limitada pel terra. Com a primera aproximació podem suposar que el terra és com un mirall que reflexa tota la contaminació que li arriba, sense modificar la seva velocitat horitzontal i invertint la seva velocitat vertical. En aquest cas, l'Eq. 3 es converteix en

$$\begin{eqnarray*} &&<c(x,y,z)> = \\ && = \frac{S}{2 \pi \sigma_y(x) \sigma_z(x)}... ...+ \exp \left[ - \frac{(z+H)^2}{2 \sigma_z^2(x)} \right] \right\} \end{eqnarray*}$$

El focus emissor, que a les equacions precedents era a $(0,0,0)$, ara es troba a $(0,0,H)$.

Queda pendent la qüestió de trobar una expressió acceptable per a $\sigma_y(x)$ i $\sigma_z(x)$. A la Fig. 10 es poden veure unes relacions empíriques.

Cada corba es correspon a un estat de l'estratificació atmosfèrica. A la Taula 5 es pot veure la descripció qualitativa de cadascun d'aquests estats.