4.2 Models de difusió atmosfèrica

Els models de difusió atmosfèrica són una de les solucions més esteses al problema del comportament dels contaminants a l'atmosfera. El seu plantejament general segueix l'esquema d'un model de processos o fenòmens, es a dir, consisteix en aplicar un model matemàtic a cada un dels fenòmens que experimenten els contaminants a l'atmosfera, i sumar les contribucions de tots els models del procés en una equació de balanç o conservació per a cada propietat considerada.

El balanç de contaminant en l'atmosfera aplicable en forma general és

$$\frac{\partial c_i}{\partial t} + \frac{\partial (u_j c_i)}{... ..._i (c_1, \ldots, c_n, T) + S (\vec{x},T) \: \: \: i=1,\ldots,N$$ (1)

on el primer terme representa la variació de concentració de contaminant amb el temps, el segon l'entrada neta de contaminants associada al flux atmosfèric (advecció), el tercer la variació de la concentració de contaminant degut a la difusió turbulenta, el quart la velocitat de desaparició del contaminant per reacció química i el cinquè la aparició de contaminant en l'entorn considerat, provinent de focus emissors en el propi entorn.

La resolució analítica d'aquestes equacions no és possible, ja que no es coneix la forma ni de la funció ni de la difusió turbulenta ($D_i$). A més, és necessari resoldre les $N$ equacions diferencials simultàniament per a tenir en compte la influència de la concentració i el seu balanç. Per a això, existeixen dues aproximacions generals a la resolució d'aquest problema: la via euleriana i la via lagrangiana.

• Eulerians: Utilitzen un sistema de referència absolut i tracten de calcular la difusió referida a aquest sistema a partir de diferents aproximacions (closure).

• Lagrangians: Distingeixen dos sistemes de coordenades per al càlcul del desplaçament dels contaminants: un absolut, referit a les coordenades del focus emissor, en el que es calcula la translació mitjana dels elements de contaminant considerats, i un altre relatiu, referit a un punt representatiu de la translació mitjana de la fumera, per a tenir en compte la dispersió de la fumera deguda a la turbulència.

La resolució simultània de totes les equacions de conservació, tal i com s'estudia en els models de predicció meteorològica, és complexa. Aquesta complexitat és molt major si s'afegeixen les equacions de balanç de matèria per a cada component. Ara bé, els contaminants atmosfèrics es troben en concentracions molt més petites que els principals components de l'aire, pel que la seva influència sobre el flux atmosfèric, es a dir, sobre la meteorologia, es menyspreable. Per tant l'equació de balanç de cada component (contaminant) pot ser resolta independentment de la resta d'equacions de conservació (de continuïtat, d'energia, de quantitat de moviment). Aquesta hipòtesi de flux estacionari no és aplicable en altres sistemes naturals en els que la presència del contaminant pot modificar significativament el flux a dintre del sistema. És el que passa, per exemple, quan la densitat o viscositat del fluid varien amb la concentració de contaminant.

La hipòtesi de flux estacionari considera que l'equació de difusió es resol en cada període de temps, durant el qual es considera que el flux és estacionari. Pot resoldre's de forma consecutiva al llarg de diversos períodes estacionaris diferents, per a que es tingui en compte la variació del flux sobre el transport del contaminant de manera discreta. Tanmateix, aquesta solució no permet que existeixi cap influència del contaminant sobre el flux.