2.1 Càlcul de la concentració

En primer lloc considerarem el terme de concentració radioactiva a l'aire com la font principal del sistema. Aquesta concentració es considera situada a una alçada afectada per les pluges dels núvols. Per aquest motiu la deposició $\Phi$ sobre la vegetació i el sòl està composta per dos termes: sec i humit . El terme sec $\Phi_S$ és la pluja radioactiva de les partícules i el terme humit $\Phi_H$ representa el rentat de l'aire per les precipitacions:

$$\Phi = \Phi_S + \Phi_H$$

La deposició $\Phi$ es mesura en Bequerels ($Bq$) per unitat de superfície i dia. Un $Bq$ és una desintegració per segon. L'expressió general de la deposició és

$$\Phi = V_g \chi + h I a \chi$$

a on $V_g$ és la velocitat de deposició ($m/d$), I és la precipitació ($mm/d$), $h$ és l'alçada dels núvols i $\alpha$ és la constant de rentat. La concentració de material radioactiu a l'aire $\chi$ es mesura en $Bq/m^3$ (El nombre de desintegracions radioactives que tenen lloc cada segon en un metre cúbic d'aire). La precipitació es mesura en $mm/d$, on un $mm$ és un $l/m2$.

A la Taula 1 es sumaritzen les dades que ens faran falta per poder fer càlculs amb aquest model.

La Figura 3 ens representa les relacions de transferència de contaminants en el sistema de aire-plantes-sòl-subsòl. La deposició constitueix el punt de partida de la dinàmica de aquest sistema, és la font de contaminació d'entrada al sòl (0.75% de la deposició) i plantes (0.25% de la deposició). La concentració de material radioactiu al sòl es pot expressar en $Bq/m^2$ (ens referim a tota l'activitat que té lloc a una superfície de $1 \: m^2$ en una capa de sòl determinada). La concentració de material radioactiu a la vegetació s'expressa en $Bq/kg$. Es pot passar d'una unitat a l'altra utilitzant la densitat de vegetació ($kg/m^2$) com a factor de conversió.

Figura 3: Modelització del sòl

Les línies discontínues representen fonts o relacions de proporcionalitat. Les línies contínues són fluxos proporcionals a la quantitat de sortida. A més hi ha una variació per la semidesintegració del material radioactiu. De aquesta manera el sistema considerat està constituït per cinc llocs o cel·les de concentració: sòl fins $1 \: cm$, sòl entre $1 \: cm$ i $5 \: cm$, subsòl, superfície externa i interior de plantes. En aquest model els coeficients de transferència de contaminants entre aire-plantes-sòl-subsòl estan basats en resultats empírics. En la Taula 2 s'anomenen cadascú d'aquests coeficients amb el valor que correspon al cas del $Cs^{137}$. També tenim, a la Taula 3, el valor dels paràmetres que no són específics d'aquest radionúclid.

Taula 1: Entrades del model

Concentració a l'aire	$\chi$	$Bq \: m^{-3}$
Precipitació	$I$	$mm \: d^{-1}$
Densitat de vegetació (humida)	$Y_m$	$kg \: m^{-2}$

Taula 2: Paràmetres del model

Deposició (sòl)	$I_1$	$0.75 \: \Phi$
Deposició (plantes)	$I_4$	$0.25 \: \Phi$
Semidesintegració	$\lambda$	$6.33 \cdot 10^{-5} d^{-1}$
Infiltració	$k_{12}$	$6.65 \cdot 10^{-4} \: d^{-1}$
Infiltració	$k_{23}$	$1.73 \cdot 10^{-4} \: d^{-1}$
Resuspensió	$k_{14}$	$8.64 \cdot 10^{-5} \: d^{-1}$
Rentat	$k_{41}$	$3.0 \cdot 10^{-2} + I \cdot 3.4 \cdot 10^{-2} \: d^{-1}$
Creixement	$k_4$	$Y_m' / Y_m$
Absorció	$B_v$	$2.0 \cdot 10^{-2} \: m^2 kg^{-1}$

Taula 3: Constants del model

Alçada de barreja	$h$	$1000 \: m$
Constant de rentat	$\alpha$	$0.6 \: mm^{-1}$
Velocitat de deposició	$V_g$	$210 \: m d^{-1}$
Densitat sòl (capa 1)	$P_1$	$13 \: kg \: m^{-2}$
Densitat sòl (capa 2)	$P_2$	$52 \: kg \: m^{-2}$

El sistema d'equacions usat per calcular el temps d'evolució de la activitat en el model plantes-sòl és el següent:

$$\begin{eqnarray*} \frac{dQ_1}{dt} &=& (- \lambda - k_{12} - k_{14} ) Q_1 + k_{41... ...Q_5 &=& Y_m B_v \left( \frac{Q_1}{P_1} + \frac{Q_2}{P_2} \right) \end{eqnarray*}$$

Les unitats dels coeficients d'activitat a les cel·les $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ i $Q_4$ són $Bq/m^2$ i $Q_5$ és $Bq/kg$. $K_{ij}$ representen els coeficients de transferència entre cel·les. Les primeres quatre equacions són equacions diferencials de primer ordre, en les que intervenen totes les possibles relacions existents entre les diferents cel·les del sistema, així com la desintegració en cada cel·la. La cinquena equació és l'expressió de la activitat de la concentració al interior de les plantes i $P_1$, $P_2$ representen les densitats a les dues capes superficials de sòl amb valors: $P_1=13 \: kg/m^2$ (fins 1 $cm$), $P_2=52 \: kg/m^2$ (1-5 $cm$).

Ara pots fer les activitats 1 i 2.