3.2 Caos determinista al model logístic

Una de les característiques més notables del model logístic és el seu comportament, sorprenentment complex tenint en compte la simplicitat de l'equació de recurrència.

A la Figura 5 es pot veure el diagrama de bifurcacions. Aquest diagrama serveix per visualitzar les bifurcacions que presenta el model logístic. L'eix de les $x$ representa els valors possibles del paràmetre $R$ (entre 0 i 4). A l'eix de les $y$ hi representem diversos valors que assoleix la variable $x_i$ a instants de temps diferents. La única condició que compleixen aquests valors és que corresponen a instants de temps grans. D'aquesta manera, si existeix un punt fix, un òrbita o un atractor, aquests valors segur que en formaran part.

Figura 5: Diagrama de bifurcacions

Observem que entre $R=0$ i $R=1$ tan sols hi ha un punt fix estable que és el 0. A $R=1$ es produeix una bifurcació, ja que entre $R=1$ i $R=2$ el punt fix estable és un altre ($x^*=1-R^{-1}$) mentre que $x=0$ passa a ser un punt fix inestable. A $R=3$ es produeix una altra bifurcació. Aquest cop el punt fix es converteix en una òrbita de dos punts. Més endavant el nombre de punts de l'òrbita es va doblant, a intervals cada cop més curts. Es pot demostrar que a partir de $R=3.58$ el nombre de punts de l'òrbita és infinit i que, per tant, tenim un atractor.

Entre $R=3.58$ i $R=4$ la major part dels valors de $R$ corresponen a atractors. No obstant, tenim finestres (veure Fig. 6) que no presenten aquest comportament i que, de fet, reprodueixen l'estructura de bifurcacions que hem trobat abans de $R=3.58$. Aquest fet s'anomena autosimilitud i és un dels trets característics dels comportaments caòtics

Figura 6: Una finestra d'ordre en mig del caos

El model logístic, per als valors de $R$ que donen lloc a atractors, presenta caos determinista degut a que dos sistemes que parteixen d'estats molt similars evolucionen de manera completament diferent. Això es pot comprovar a la Figura 7, que representa l'evolució de dos sistemes caracteritzats per $R=3.9$ i amb valors inicials molt semblants. Per a $i=0$ un sistema es troba a $x_0=0.5$ mentre que l'altre sistema es troba a $x=4.99$. L'evolució al llarg de les primeres 20 iteracions és molt semblant. A poc a poc, els sistemes es van diferenciant. En arribar a l'iteració $i=90$ l'evolució dels dos sistemes ja és completament diferent.

Figura 7: Evolució de dos sistemes

Els atractors són fractals. Un fractal és una figura geomètrica tal que la seva dimensió topològica no coincideix amb la dimensió del seu ``contingut''. Per dimensió topològica entenem la dimensió que habitualment associem amb una figura: si es tracta d'un conjunt de punts (com és el cas de l'atractor que estem estudiant) la dimensió topològica és 0, si la figura està formada per línies la dimensió topològica és 1, i així successivament.

Des d'un punt de vista matemàtic hi ha vàries definicions per avaluar la dimensió del ``contingut'' d'una figura (per exemple, la dimensió de Hausdorff-Besicovitch) però més val abordar aquest problema des d'un punt de vista intuïtiu. L'atractor està format pels valors que va assolint el model logístic i per tant la seva dimensió topològica és 0. No obstant, la sèrie anirà recobrint densament tots els valors d'un interval (passarà tan a prop com vulguem de qualsevol punt de l'interval). De fet, per $R=4$ el model logístic recobreix tot l'interval $(0,1)$. En aquest sentit, la dimensió de l'atractor és la d'una línia, és a dir, 1.

Un ``truquet'' per visualitzar millor els atractors és afegir observables ficticis. D'aquesta forma es pot veure millor quina és la dimensió i l'estructura de l'atractor. Pel que fa al model logístic, representarem en una gràfica en tres dimensions un cert nombre de punts. El punt $i$ té com a coordenades $(x_i,x_{i+1}, x_{i+2})$, tres valors valors consecutius de la sèrie. Els observables s'anomenen ficticis perquè estem fent una gràfica de tres quantitats quan en realitat només en tenim una (el valor de la sèrie en cada terme). El resultat es pot veure a la Figura 8.

Figura 8: Atractor per R=3.9