3.1 Model logístic

El tipus de dependència més simple que compleix les premises esmentades abans és la dependència lineal. Suposem, doncs, que els factors $B$ i $D$ no són constants sinó que venen donats per

$$B = B_0 - B_1 N$$ (5)

$$D = D_0 + D_1 N$$ (6)

on recuperem el model geomètric quan $B_1=D_1=0$.

Si substituïm les Equacions 5 i 6 a l'expressió 1 i escrivim el resultat en funció dels paràmetres

$$R = 1 + B_0 - D_0$$

$$K = \frac{B_0 - D_0}{B_1 + D_1},$$

obtenim l'anomenat model logístic

$$N_{i+1} = N_i + (R -1) \left( 1 - \frac{N_i}{K} \right) N_i.$$ (7)

És fàcil veure el significat intuïtiu dels paràmetres $R$ i $K$. Quan el nombre de membres de l'espècie es petit comparat amb $K$, el seu comportament coincideix aproximadament amb el d'un model geomètric amb factor de creixement $R$. Per tant, continuarem anomenant factor de creixement a aquest paràmetre, malgrat que el comportament ja no sigui exactament geomètric.

En canvi, quan el nombre de membres és gairebé $K$ el creixement és molt petit. De fet, $N=K$ és un punt fix del sistema: quan s'assoleix aquest valor ja no hi ha variacions posteriors. Per aquest motiu anomenem capacitat al paràmetre $K$.

El model logístic sovint es presenta normalitzat

$$x_{i+1} = R ( 1 - x_i) x_i.$$ (8)

La magnitud $x$ es defineix com

$$x_i \equiv \frac{N_i}{Q}$$

on, a la seva vegada, el paràmetre $Q$ està definit com

$$Q \equiv \frac{1 + B_0 - D_0}{B_1 + D_1}.$$

El significat de $Q$ és diferent al de $K$. Es tracta d'un límit per sobre del qual el model logístic deixa de tenir sentit.

A la Figura 4 es pot veure una evolució típica d'un sistema modelitzat mitjançant el model logístic discret.

Figura 4: Exemple de resultats del model logístic