2.1 Model geomètric

Com s'ha dit abans, modelitzarem el nombre de membres d'una espècie mitjançant una sèrie. El valor de cada terme de la sèrie representa el nombre de membres de l'espècie en un cert instant de temps. Fixarem una quantitat $\Delta t$ que representi l'interval de temps entre dos termes de la sèrie.

Aquesta mena de modelització s'anomena intensiva ja que no tenim en compte la distribució espaial dels membres de l'espècie sinó tan sols el seu nombre. Els models que sí tenen en compte com està distribuïda l'espècie a l'espai s'anomenen extensius.

Per simplificar l'exposició, considerarem tan sols la reproducció asexual, com la dels bacteris. Tot el que s'exposarà a continuació es pot adaptar a la reproducció sexual redefinint el significat d'algunes quantitats.

Considerem ara l'interval de temps $\Delta t$. Sigui $B$ la probabilitat de que un membre de l'espècie es reprodueixi i $D$ la probabilitat de que mori, durant el transcurs d'un interval de temps $\Delta t$. El nombre de membres un cop transcorregut aquest interval de temps és

$$N_{i+1}= N_i + B N_i - D N_i = (1 + B - D ) N_i \equiv R N_i$$ (1)

on hem definit $R$ com $1+B-D$. $R$ s'anomena factor de creixement geomètric.

En el cas de l'Equació 1 és possible calcular el terme general,

$$N_i = R^i \: N_0$$ (2)

on $R_0$ és el nombre inicial de membres de l'espècie.

El comportament d'aquest model es previsible. Quan $R>1$ tindrem un creixement geomètric. En canvi si $R<1$ el nombre de membres decreixerà, també geomètricament (veure Figura 1).

Figura 1: Comportament del model geomètric

Aquest model és independent de la densitat perquè els paràmetres de natalitat $B$ i de mortalitat $D$ no depenen del nombre de membres de l'espècie. Això es veritat quan una espècie disposa de prou espai i recursos però no es compleix, en general, quan el nombre de membres és prou gran com per a que hi hagi escassetat d'algun recurs (aigua, aliments, espai, ...).