2.2 Estocasticitat ambiental

El fet que $B$ i $D$ siguin independents del nombre de membres de l'espècie no vol dir que siguin necessàriament constants. Pot haver-hi un augment de la mortalitat i una disminució de la natalitat degut a circumstàncies externes, com sequeres o epidèmies. El resultat pot ser una disminució de $R$ per sota de $1$.

Al contrari, circumstàncies favorables poden fer variar $R$ de manera que assoleixi valors per sobre de $1$.

Aquestes variacions del factor de creixement $R$, per sobre i per sota de $1$, poden fer que el model geomètric ja no doni lloc a un creixement o a un decreixement monòton sinó a unes fluctuacions aleatòries que mantenen la població en valors que no mostren ni un creixement ni un decreixement clar. Aquest fenomen s'anomena estocasticitat ambiental.

Per estudiar-lo, considerem el model que ve donat per l'equació de recurrència

$$N_{i+1} = R(\zeta) N_i$$ (3)

on $\zeta$ és una variable aleatòria que compleix

1. El 50% de les vegades adopta el valor $R_1$
2. L'altre 50% de les vegades té valor $R_2$

No costa molt veure que la condició per a que no hi hagi una tendència ni cap al creixement ni cap al decreixement és

$$\sqrt{R_1 R_2} = 1$$

o en altres paraules

$$R_1 = \frac{1}{R_2}$$ (4)

Etiquetarem la corba amb la mitja geomètrica dels dos factors de creixement

$$<R> \equiv \frac{R_1 + R_2}{2} = \frac{R_1^2 + 1}{2R_1}.$$

En aquesta darrera equació, la igualtat tan sols és vàlida si es compleix la Condició 4.

Figura 2: Dos exemples d'estocasticitat ambiental

A la Figura 2 es pot veure un exemple dels resultats del model.