2.3 Estocasticitat demogràfica

Mirem ara una altra font d'estocasticitat que pot produir canvis en el comportament monòton del model geomètric. Quan $R$ té un valor exactament igual a $1$, el nombre de membres de l'espècie es manté constant segons el model geomètric.

El model geomètric parteix de la idea de que tots els individus es reprodueixen al mateix ritme. Això pot ser cert en organismes molt senzills, però no es compleix en absolut pels organismes superiors.

Quan diem que la natalitat és d'un fill per parella, s'entén que algunes parelles tindran dos, tres o encara més fills mentre que altres no en tindran cap. Cal entendre aquesta afirmació com un promig, no com una indicació de que totes les parelles tenen un fill.

Ambdues coses tan sols són equivalents en el límit en el qual una espècie té infinits membres.

A la pràctica, el nombre de neixements i el de defuncions presenta fluctuacions. Tant el neixement d'un ésser viu com la seva defunció són esdeveniments que no estan exempts d'una certa aleatoritat. La xifra que ens proporciona el factor de creixement $R$ és tan sols una mitja, la variància de la qual no és zero. Aquest fet és especialment notable quan les poblacions són reduïdes.

Intentem plantejar un model que vagi més enllà que el model geomètric en aquest sentit. No podrem plantejar-lo en termes d'una equació de recurrència sinó que caldrà resoldre el model mitjançant una petita simulació.

El model es pot plantejar en termes tan generals com es vulgui, però, per claredat, potser és millor imposar alguna restricció, que en qualsevol cas es pot variar.

Així doncs, per a cada un dels $N_i$ membres de l'espècie, calculem els descendents que tenen d'acord amb les següents probabilitats

1. Probabilitat de no tenir descendents: $(1-a)/2$
2. Probabilitat de tenir $1$ descendent: $a$
3. Probabilitat de tenir $2$ descendents: $(1-a)/2$

Podem escollir altres valors per a les probabilitats i ampliar el nombre d'esdeveniments possibles (tenir $3$ descendents, ...). No obstant, la suma de totes les probabilitats ha de ser sempre igual a $1$ o altrament no estaríem considerant-les totes.

Per una altra banda, si volem que el nombre de membres de l'espècie es mantingui constant (per comparar amb el model geomètric $R=1$), la probabilitat de morir durant un interval de temps ha de ser igual a la natalitat mitja. En el nostre cas

$$D = 0 \times \frac{1-a}{2} + 1 \times a + 2 \times \frac{1-a}{2} = 1$$

tot i que podria ser un altre factor si haguéssim partit de probabilitats amb una forma diferent o haguéssim considerat altres esdeveniments.

Un cop simulat el pas d'un interval de temps, en simulem més per poder obtenir l'evolució del nombre de membres d'una espècie.

Figura 3: Dos exemples d'estocasticitat demogràfica

A la Figura 3 es pot observar una simulació del model, partint de $N_0=25$, per a dos valors de $a$ diferents.

Ara ja pots fer l'activitat 2.