Activitats

1. Troba els punts fixos del sistema d'equacions de recurrència
   
   $$x_{i+1} = - 7 x_i + 3 ( 5 - x_i) x_i + 4 x_i y_i$$
   
   
   
   
   $$y_{i+1} = x_i (2 - y_i) y_i + y_i$$
   
   
   i discuteix la seva estabilitat.

2. Dues espècies que competeixen per una mateixa font de recursos estan descrites pel sistema d'equacions d'equacions de recurrència
   
   $$N_{x,i+1} = N_{x,i} + (0.7 - 1) \left( 1 - \frac{N_{x,i}-0.03 N_{y,i}}{1000} \right) N_{x,i}$$
   
   
   
   
   $$N_{y,i+1} = N_{y,i} + (0.5 - 1) \left( 1 - \frac{N_{y,i}-0.001 N_{x,i}}{100} \right) N_{y,i}$$
   
   
   Normalitza aquest sistema d'equacions.

3. Consulta un llibre de Zoologia o una enciclopèdia. Amb aquesta informació, enuncia 5 parelles d'espècies que tinguin una relació presa-depredador.

4. El següent sistema d'equacions normalitzades descriu la relació entre una presa i el seu depredador
   
   $$x_{i+1} = 1.04 ( 1 - x_i ) x_i - 1.5 x_i y_i$$
   
   
   
   
   $$y_{i+1} = 1.5 \cdot 0.01 x_i y_i + 0.01 y_i$$
   
   
   En un cert instant de temps, s'assoleixen els valors $x=0.2$ i $y=0.05$. Si per normalitzar el depredador s'ha escollit $C=750$ i es coneix que la capacitat de la presa es $K_x=750$, quin és el nombre d'exemplars de cada espècie? Quant val la probabilitat $A$ de que un depredador capturi una presa en el transcurs d'un torn?

5. Escriu el sistema d'equacions diferencials sense normalitzar que correspon a aquest sistema d'equacions normalitzades
   
   $$\frac{dx}{dt} = 0.8 ( 1 - x - 0.01 y) x$$
   
   
   
   
   $$\frac{dy}{dt} = 0.7 ( 1 - y - 0.02 x) y$$
   
   
   si les capacitats de les espècies són $K_x=2000$ i $K_y=1000$.

6. Si normalitzem aquest sistema d'equacions diferencials, que descriuen la interacció entre una presa i un depredador,
   
   $$\frac{dN_x}{dt} = 0.5 \cdot \frac{750 - N_1}{750} N_x - 0.01 N_x N_y$$
   
   
   
   
   $$\frac{dN_y}{dt} = 0.01 \cdot 0.02 N_x N_y - 0.1 N_y$$
   
   
   quins són els paràmetres $\alpha$ i $\beta$ que en resultarien? Escriu un sistema d'equacions de recurrència que en sigui equivalent, suposant que les unitats de temps de les equacions anteriors són anys. Especifica quin valor de $\Delta t$ has escollit.

7. Realitza les activitat descrites al guió de pràctiques d'aquesta unitat.