3 Modelització mitjançant sistemes d'equacions diferencials

La principal diferència entre els models on el temps està dividit en intervals discrets i els models on el temps és una variable contínua és que els primers s'expressen habitualment en forma d'equació de recurrència mentre que els segons s'escriuen en forma d'equacions diferencials.

Per poder tractar vàries variables ens cal un sistema d'equacions diferencials. Per a dues variables

$$\frac{dx}{dt} = f(x,y)$$

$$\frac{dy}{dt} = g(x,y)$$

Una altra vegada, ens farà falta conèixer el nombre inicial de membres cada espècie, $x_0$ i $y_0$. Això són el que s'anomenen condicions inicials i són un requisit indispensable per obtenir una solució, ja sigui analíticament o numèricament, de la forma

$$x(t)$$

$$y(t)$$

Podem representar aquestes funcions de la manera habitual, la variable independent a l'eix d'abscisses i la variable independent a l'eix d'ordenades. Alternativament podem representar la trajectòria. Per fer-ho, s'ha d'eliminar la variable $t$ de les solucions per obtenir una funció de la forma

$$y(x)$$

Cada tipus de representació té els seus avantatges i els seus inconvenients. En el primer cas es fàcil observar l'evolució temporal. En el segon és posa més en relleu la relació entre les dues variables.

Tant la definició de punt fix com la condició matemàtica és igual que en el cas de les equacions de recurrència. Les Eqs. 1 i 2 són, doncs, vàlides en el cas de sistemes d'equacions diferencials. També es pot discutir l'estabilitat dels punts fixos a partir de les solucions de l'Eq. 3.

Una representació interessant és dibuixar vàries trajectòries, amb condicions inicials diferents, a la mateixa gràfica. Aquest tipus de representació ens permet visualitzar la posició dels punts fixos, òrbites i atractors. La seva definició és la mateixa que en el cas de les equacions de recurrència. També és vàlida la classificació de punts fixos de la Fig. 3.