2 Modelització del metabolisme d'una vaca

Atesa la complexitat del metabolisme d'un esser viu, tan sols és possible una aproximació al problema basada en fòrmules empíriques. Així doncs, no es justificarà biologicament el model. Més aviat, tindrem en compte que hi ha un rang de concentracions on la transferència de substàncies entre els diversos òrgans de l'animal és lineal i esperarem que els casos que es vulguin estudiar siguin a dintre d'aquest rang. Les constants $k_{ij}$ que determinen aquesta transferència tampoc es deduiran en base a cap argument biològic sinó que s'utilitzaran valors que l'experiència ha demostrat que són raonables.

El model de la vaca es pot veure a la Fig. 2. Els compartiments són el tub digestiu (0), la carn (1), el fetge (2) i la llet (3). Aquest esquema és equivalent al següent sistema d'equacions

$\begin{eqnarray*} \frac{dQ_0}{dt}&=&-(\lambda+k_{00}+k_{01}+k_{02}+k_{03})Q_0 + ... ...-(\lambda+k_{22})Q_2 \\ \frac{dQ_3}{dt}&=&k_{03}Q_0-\lambda Q_3 \end{eqnarray*}$

**Figura 2:** Model del metabolisme d'una vaca
$\begin{figure}\leavevmode \begin{center} \leavevmode \epsfxsize =8cm \epsfbox{vaca.eps}\end{center}\protect\end{figure}$

En concret, volem modelitzar el pas d'un radionúclid ( $Cs^{137}$ ) des del menjar fins als diferents òrgans de la bèstia. Les unitats de

seran doncs bequerels (

). Recordem que 1

és la quantitat de radionúclid que dóna lloc a una desintegració radioactiva per segon.

La font

representa el $Cs^{137}$ ingerit amb el menjar. Li assignarem unitats de Bequerels per dia (

). Per a que les unitats quadrin, les constants $k_{ij}$ han de tenir unitats d'invers de dia ( $d^{-1}$ ). Empíricament s'ha trobat que els valors de la Taula 1 són útils.

Taula 1: Constants del model del metabolisme d'una vaca

$k_{00}$	$k_{01}$	$k_{02}$
	$5.69 \cdot 10^{-2}$	$1.56 \cdot 10^{-3}$
$k_{03}$	$k_{11}$	$k_{22}$
$8.64 \cdot 10^{-2}$	$6.91 \cdot 10^{-3}$	$6.91 \cdot 10^{-3}$

$\begin{displaymath} \lambda = 6.33 \cdot 10^{-5} d^{-1} \end{displaymath}$

Amb aquestes constants, la concentració al menjar de $Cs^{137}$ (

) i la quantitat de menjar ingerida diariament per una vaca (

) podrem calcular la concentració d'aquest radionúclid en els diferents òrgans de l'animal.

Quines són les limitacions d'aquest model? Un problema és inherent a les pròpies constants $k_{ij}$ . No es ben conegut com depenen de l'especimen i del seu entorn i cal prendre els resultats com una aproximació.

La principal limitació, però, és la suposició de linealitat. Així i tot, el model pot continuar sent vàlid de manera qualitativa i pot ser útil per entendre certs comportaments. Per exemple, el perquè un òrgan admet una certa quantitat d'un element i un cop superada aquesta concentració ja no n'accepta més. El cas més conegut és el del iode. Per evitar l'absorció per part de la glàndula tiroides del radionúclid $I^{129}$ , present als residus radioactius, es sol administrar a les persones exposades a aquesta contaminació pastilles amb l'isòtop estable del iode ( $I^{127}$ ). Com que les propietats químiques d'ambdos isòtops són idèntiques, l'isòtop estable satura la glàndula tiroides, que d'aquesta forma ja no adsorbeix l'isòtop radioactiu.