4.2 Propietats

Ja s'ha comentat que en els models continus les equacions diferencials són l'equivalent de les equacions de recurrència en els models discrets. En certa manera també podem trobar una correspondència amb les propietats que s'han esmentat a l'apartat 1.2.

Considerem una equació diferencial

$$\frac{dx}{dt} = f(x).$$

Pot existir un valor $x^*$ que compleixi

$$f(x^*)=0.$$

Aquest valor serà un punt fix. Si $x(t)$ arriba a tenir aquest valor llavors el tindrà sempre en el futur. Els punts fixos poden ser estables o inestables. Com a les equacions de recurrència, l'estabilitat es pot estudiar mitjançant el paràmetre $\lambda$, definit per

$$\lambda = \frac{df(x)}{dx}\vert _{x^*} .$$

De nou, $\lambda>1$ indica que el punt fix és inestable mentre que $\lambda<1$ vol dir que els punt fix és estable.

Encara que els models que estudiarem en aquest tema no presentaran aquest comportament, també poden existir òrbites (cicles) en forma de solució periòdica. Per obtenir atractors ens caldrà estudiar sistemes de tres (o més) equacions diferencials.

De moment, pots fer l'activitat 3.