5.1 Model exponencial

Recordem que en el cas dels models discrets vam definir dos valors: $B$ era la probabilitat de que un membre de l'espècie tingui un descendent durant l'interval $\Delta t$ i $D$ era la probabilitat de la seva mort durant el mateix interval de temps.

Ara, definim $b$ com la probabilitat de que un membre de l'espècie tingui un descendent, per unitat de temps. Si $B$ és adimensional, $b$ té dimensions d'invers del temps. Anàlogament, definim una probabilitat de defunció per unitat de temps $d$.

Si expressem això en forma d'equació diferencial obtenim

$$\frac{dn(t)}{dt} = b n(t) - d n(t) = r n(t),$$ (9)

on hem definit la taxa de creixement com $r=b-d$. La solució d'aquesta equació és

$$n(t)=e^{rt}n(0).$$

Fixem-nos que el model geomètric (discret) i el model exponencial (continu) són completament equivalents quan es compleix la condició

$$R = e^{r \Delta t}$$

Per practicar aquest concepte pots fer l'activitat 4.