5.2 Model logístic

De nou hem considerat, a l'apartat anterior, que tant $b$ com $d$ són independents del nombre de membres que té l'espècie i una altra vegada la solució més senzilla per incorporar aquesta dependència és suposar que és lineal

$$b(t) = b_0 - b_1 n(t),$$

$$d(t) = d_0 + d_1 n(t).$$

Si, a més, apliquem les definicions

$$r = b_0 - d_0,$$

$$K = \frac{b_0 - d_0}{b_1 + d_1},$$

llavors l'Eq. 9 es converteix en

$$\frac{dn(t)}{dt} = r \left( 1 - \frac{n(t)}{K} \right) n(t).$$ (10)

La solució d'aquesta equació diferencial és

$$n(t)=\frac{K}{1+[K/n(0)-1]e^{-rt}}$$

Sovint s'utilitza una normalització que és subtilment diferent a la del model discret. Per comptes de normalitzar respecte un valor màxim, normalitzarem respecte la capacitat del sistema

$$x(t) \equiv \frac{n(t)}{K}.$$

Llavors l'Equació 10 s'escriu com

$$\frac{dx(t)}{dt} = r [ 1 - x(t) ] x(t)$$

i la seva solució com

$$x(t) = \frac{1}{1+[1/x(0)-1]e^{-rt}}.$$

A la Figura 9 es pot veure la representació de dues funcions $x(t)$ modelitzades mitjançant el model logístic.

Figura 9: Dues corbes logístiques contínues

Una activitat relacionada amb el model logístic és la 5.