2.1 Competència pels mateixos recursos

Partim del model logístic

$$N_{i+1} = N_i + (R-1) (1 - \frac{N_i}{K}) N_i.$$ (4)

Recordem que segons aquest model l'espècie està caracteritzada per dos paràmetres: el factor de creixement $R$ i la capacitat $K$.

Considerem ara dues espècies descrites pel model logístic i que no competeixen per una mateixa font de recursos. Senzillament, escriurem una equació logística per a cada espècie

$$N_{x,i+1} = N_{x,i} + (R_x-1) (1 - \frac{N_{x,i}}{K_x}) N_{x,i},$$

$$N_{y,i+1} = N_{y,i} + (R_y-1) (1 - \frac{N_{y,i}}{K_y}) N_{y,i}.$$

El fet que dues espècies competeixin pels mateixos recursos, implica que hi haurà una dificultat afegida per reproduir-se. La millor manera de modelitzar això és acoblant les dues equacions, afegint un terme que depengui del nombre de membres de l'altra espècie

$$N_{x,i+1} = N_{x,i} + (R_x-1) (1 - \frac{N_{x,i}-AN_{y,i}}{K_x}) N_{x,i},$$ (5)

$$N_{y,i+1} = N_{y,i} + (R_y-1) (1 - \frac{N_{y,i}-BN_{x,i}}{K_y}) N_{y,i}.$$ (6)

Els factors $A$ i $B$ representen la influència mútua entre les dues espècies.

Amb aquestes equacions ja podríem anar treballant, però per comoditat treballarem sempre amb equacions normalitzades. En acabar els càlculs recuperarem les quantitats reals multiplicant per la quantitat emprada per normalitzar. Utilitzarem dues quantitats $Q_x$ i $Q_y$ definides per

$$Q_x \equiv \frac{K_x R_x}{R_x - 1},$$

$$Q_y \equiv \frac{K_y R_y}{R_y - 1},$$

per normalitzar les variables $N_x$ i $N_y$. Aquestes quantitats $Q$ representen el límit de validesa del model. Quan $N>Q$ el model dóna resultats absurds. Les variables normalitzades vindran donades per

$$x_i \equiv \frac{N_{x,i}}{Q_x},$$

$$y_i \equiv \frac{N_{y,i}}{Q_y}.$$

Les Eqs. 5 i 6 queden, en funció d'aquestes variables com

$$x_{i+1} = R_x (1 - x_i - \alpha y_i) x_i,$$

$$y_{i+1} = R_y (1 - y_i - \beta x_i) y_i.$$

La relació que hi ha entre les variables $\alpha$ i $\beta$ d'aquesta equació i les variables $A$ i $B$ és

$$A = \frac{Q_x}{Q_y} \alpha$$ (7)

$$B = \frac{Q_y}{Q_x} \beta$$ (8)

Hem d'anar, doncs, amb compte quan juguem amb les equacions normalitzades. Si variem els factors de creixement $R$ també estem modificant el significat (encara que no canviem el seu valor) dels paràmetres que determinen la influència entre les dues espècies.

Com sempre, es comença amb uns valors inicials i a partir d'aquí es van obtenint els valors $x_i$ i $y_i$. Després podem trobar els valors reals multiplicant cada variable per la seva $Q$. Pots practicar una mica fent l'activitat 2.