2.2 Relació presa-depredador

Un altre cop, utilitzem el model logístic donat per l'Eq. 4 per descriure una espècie que viu d'un recurs renovable però limitat. Aquesta vegada suposarem que hi ha un depredador que té a aquesta espècie com a presa.

Anomenem $A$ a la probabilitat de que en un interval $\Delta t$ de temps un depredador capturi una presa. En aquest cas caldrà modificar l'equació 4 afegint un terme que comptabilitzi el nombre d'exemplars capturats

$$N_{x,i+1} = N_{x,i} + (R_x - 1) (1 - \frac{N_{x,i}}{K_x}) N_{x,i} - A N_{x,i} N_{y,i}$$ (9)

Pel que fa al depredador suposarem que cada membre té una certa probabilitat $\delta$ de morir a cada torn i que fa falta un cert nombre de captures $1/B$ per a que pugui generar un nou depredador. Això ens suggereix l'expressió

$$N_{y,i+1} = A B N_{x,i} N_{y,i} + (1 - \delta) N_{y,i}$$ (10)

Si volem, podem normalitzar aquestes equacions. Podem normalitzar la presa mitjançant les definicions

$$Q_x \equiv \frac{K_x R_x}{R_x - 1},$$

$$x_i \equiv \frac{N_{x,i}}{Q_x},$$

Discutim la normalització de la segona espècie, que, a diferència de la primera, no té ni $K$ ni $R$. De fet, l'Eq. 10 és lineal en $N_y$. Això vol dir que podem escollir qualsevol quantitat $C$ per normalitzar el nombre de depredadors

$$y_i \equiv \frac{N_{y,i}}{C}.$$

Aplicant aquestes definicions les Eqs. 9 i 10 es converteixen en

$$x_{i+1} = R_x (1 - x_i) x_i - \alpha x_i y_i,$$ (11)

$$y_{i+1} = \alpha \beta x_i y_i + (1 - \delta) y_i.$$ (12)

La relació entre els paràmetre $\alpha$ i $\beta$ de les equacions normalitzades i els paràmetres $A$ i $B$ de les equacions sense normalitzar ve donada per

$$A = \frac{1}{C} \alpha$$

$$B = \frac{C}{Q_x} \beta$$

Per simplificar l'estudi d'aquestes equacions podem treballar amb un model menys general però més senzill. Suposant $\delta=1$ i $\alpha=R_x$ s'obté

$$x_{i+1} = R_x (1 - x_i - y_i ) x_i$$

$$y_{i+1} = R_x \beta x_i y_i$$

Per fixar idees pots realitzar les activitats 3 i 4.