2.3 Aplicació a la percolació

La percolació és en realitat un concepte geomètric i no un fenomen físic. Així i tot, els conceptes que s'utilitzen per a l'estudi dels fenòmens crítics es poden aplicar sense cap problema.

Tornem al tauler ple de caselles i mirem com podem aplicar aquestes idees. En primer lloc ens cal un concepte que sigui equivalent al de temperatura. Podem interpretar que els taulers de la Fig. 2 són a ``temperatures'' diferents. Recordem que la diferència entre aquests taulers tan sols és el nombre de caselles ocupades, després d'un procés consistent en anar buidant caselles de manera aleatòria. Agafarem, doncs, com a temperatura (en rigor, com a inversa de la temperatura) la fracció de caselles ocupades.

$$\beta = \frac{n_o}{n} = \frac{n_o}{n_o + n_b}$$

Definirem la fase ordenada com aquella a on els camins per creuar el sistema passant per caselles ocupades són molt abundants. La fase desordenada serà, en canvi, aquella a no hi haurà aquest tipus de connexió entre els extrems del sistema.

Abans hem vist que això també es pot expressar mitjançant la mida de l'illa més gran. A la fase ordenada totes les caselles ocupades formaran part de l'illa més gran. En canvi, a la fase desordenada fins i tot l'illa més gran estarà formada per una sola casella. Ens cal un nombre que sigui igual a 1 en el primer cas i igual a 0 en el segon. Anomenem $n_{max}$ a la mida de l'illa més gran. El paràmetre d'ordre serà

$$\theta = \frac{n_{max}}{n_o}$$

Pel que fa a la longitud de correlació, podem considerar que $n_{max}$ és una quantitat més o menys equivalent.

Cal tenir una idea ben clara: si apliquem aquestes definicions a un tauler de $20 \times 20$, no obtindrem una transició de fase. Si tinguéssim una transició de fase de veritat aniríem treien caselles de manera aleatòria i en un cert moment el valor de la variable $\theta$ passaria de sobte de 1 a 0. Recordem que les transicions de fase necessiten de la participació d'infinites partícules (en aquest cas, caselles).

El que obtindrem és un comportament semblant al d'una transició de fase. El paràmetre d'ordre $\theta$ valdrà gairebé 1 per a un bon interval de la variable $\beta$, tindrà una baixada acusada i finalment assolirà un valor de gairebé 0 pels valors més petits de $\beta$.

Això sí, com més caselles fem servir, més semblant serà el comportament del sistema al d'una transició de fase.

Pots posar en pràctica aquests conceptes tot fent l'activitat 2.