2.2 Càlcul de la concentració a llacs, estuaris i mars

En el cas d'un llac, s'ha de treballar una mica més per poder obtenir la concentració de contaminant. Considerarem un llac com el de la Fig. 3,

Figura 3: Paràmetres per calcular la concentració d'un contaminant a un llac

amb un abocament d'intensitat $T$, un volum $V$ i un cabal de sortida $R$. Si anomenem $Q$ a la quantitat de contaminant i $C$ a la seva concentració, està clar que la relació entre ambdues magnituds vindrà donada per

$$C = \frac{Q}{V}.$$ (4)

Pensem ara per quins motius varia la quantitat de contaminant $Q$. Per una banda tenim una variació deguda a l'abocament

$$\frac{dQ_a}{dt}=T,$$ (5)

una altra deguda a la quantitat de contaminant que es perd a través del flux de sortida

$$\frac{dQ_f}{dt} = - C R = - \frac{Q}{V} R$$ (6)

i una altra deguda a la descomposició del contaminant

$$\frac{dQ_d}{dt} = - Q \lambda.$$ (7)

Sumant aquestes equacions terme a terme obtenim la següent equació diferencial

$$\frac{dQ}{dt} = T - Q \left( \lambda + \frac{R}{V} \right),$$ (8)

la solució de la qual és

$$Q = \frac{T}{\lambda + R/V}$$ (9)

o aplicant l'Eq. 4, si es prefereix en termes de la concentració,

$$C = \frac{T}{V} \frac{1}{\lambda + R/V}.$$ (10)

Per fixar idees, fes les activitat 3, 4 i 5.