4.2 Relació presa-depredador

La versió contínua sense normalitzar és

$$\frac{dN_x}{dt} = r \frac{K - N_x}{K} N_x - A' N_x N_y$$ (14)

$$\frac{dN_y}{dt} = A' B N_x N_y - d N_y$$ (15)

$A'$ és la probabilitat per unitat de temps de que un depredador capturi una presa. Podem relacionar $A'$ amb la variable $A$ de l'Eq. 9

$$A' = \frac{A}{\Delta t}$$

En canvi, $B$ té el mateix significat que a l'Eq. 10. És l'invers del nombre de captures que ha de fer el depredador per reproduir-se. La relació entre $d$ i la variable $\delta$ del model discret és

$$d = \frac{\delta}{\Delta t}$$

ja que en aquest cas es tracta de la probabilitat de mort per unitat de temps.

La relació entre la taxa de creixement $r$ i el factor de creixement $R$ de l'Eq. 11 és la mateixa que la de l'Eq. 13.

Si normalitzem les variables $N_x$ i $N_y$ fent

$$x = \frac{N_x}{K}$$

$$y = \frac{N_y}{C}$$

obtenim les equacions

$$\frac{dx}{dt} = r ( 1 - x ) x - a x y$$

$$\frac{dy}{dt} = a b x y - d y$$

La relació entre els paràmetres d'una i altra equació ve donada per

$$A' = \frac{a}{C}$$

$$B = \frac{C}{K} b$$

Per reforçar tota aquesta explicació, pot aplicar-la a l'activitat 6.

Un fet curiós és que aquest model continu dóna uns resultats que no són similars als del seu equivalent discret. En canvi, si treiem la part logística de l'Eq. 14, per exemple fent el límit quan $k$ tendeix a infinit, sí que obtenim resultats semblants als del model discret.